"Immaginiamo una spiaggia assolata lunga un chilometro, in agosto, piena di bagnanti (supporremo per ora distribuiti uniformemente lungo la spiaggia). Due gelatai hanno il permesso di vendere gelati sulla spiaggia. Dove si metteranno i due gelatai? Se noi siamo un bagnante vorremmo sicuramente avere un gelataio vicino alla nostra sdraio, per fare meno strada possibile quando abbiamo voglia di un gelato. Se ci interessiamo della volontà di tutti i bagnanti, la posizione migliore dei due gelatai è sicuramente quella di avere un gelataio a 250m dall’inizio della spiaggia e uno a 750m dall’inizio della spiaggia, così che ogni bagnante debba fare al più 250m per avere il suo gelato. Il punto importante è che mediamente ogni bagnante compie solo 125m per arrivare dal gelataio più vicino.
Se noi siamo un gelataio, il nostro obbiettivo è diverso: vogliamo vendere più gelati possibile. Pertanto, la posizione ottimale per i bagnanti descritta sopra non è affatto stabile. Il primo gelataio, sicuro che i bagnanti dei primi 250m di spiaggia si serviranno comunque da lui e non dal collega più distante inizia ad avvicinarsi al collega per rubargli clienti. Anche l’altro ha la stessa idea e si muove verso l’inizio della spiaggia. La posizione stabile raggiunta in questo modo è quella di due gelatai fianco a fianco al centro della spiaggia. Più in generale, qualunque sia la distribuzione dei bagnanti sulla spiaggia, i due gelatai tenderanno a stare fianco a fianco sulla mediana, ovvero lasciandosi entrambi il 50% dei bagnanti a destra e il 50% dei bagnanti a sinistra.
La stessa schematizzazione matematica si ha per un’elezione in cui sia discusso un solo argomento, su cui si può avere una posizione che varia da estrema destra (inizio spiaggia) a estrema sinistra (fine spiaggia). Sostituiamo ai bagnanti gli elettori, ai gelatai i due candidati. Se pensiamo che ogni elettore voti il candidato che professa idee più vicine alle proprie e che ogni candidato abbia come obbiettivo quello di vincere l’elezione, assisteremo allo stesso curioso fenomeno: due candidati con posizioni molto simili.
La posizione della mediana (e anche qualsiasi altra posizione scelta dai due candidati) è tuttavia facilmente attaccabile dall’entrata in gioco di altri candidati: un terzo candidato può rubare voti a uno dei due candidati, impedendogli di vincere; un terzo e un quarto candidato - opportunamente coalizzati - possono impedire ai primi due di vincere le elezioni.
Ovviamente nel mondo reale non possiamo aspettarci che i bagnanti e gli elettori abbiano troppa pazienza e che accettino la situazione. In effetti il fenomeno dell’alienazione dell’elettore e del non voto è molto frequente."
(Alberto Saracco, Il paradosso del gelataio e altri problemi delle votazioni. Dipartimento di Matematica, Università di Parma)
